軸流式壓縮機葉片振動特性及固有頻率分析
2015-3-11 來源：數控機床市場網 作者：寶雞文理學院機電工程系白 靜
摘 要：以軸流壓縮機動葉片為研究對象，分析了軸流式壓縮機葉片的動態特性。對葉片進行模態分析，計算得到其靜頻值、動頻值及其相應振型。發現葉片在各個轉速下的動頻值與靜頻值相差很小，說明離心初應力對葉片的振動特性影響很小，這是因為離心力產生的預應力僅僅分布在葉根榫槽處。并將模態計算得到的轉速1000-3000ｒ／ｍｉｎ的動頻繪制成Ｃａｍｐｂｅｌｌ圖，通過對Ｃａｍｐｂｅｌ圖進行分析及共振安全率的計算發現，葉片存在2個共振點，必須對其進行調頻。
關鍵詞： 軸流壓縮機；葉片；動頻；靜頻
葉片在透平機械中承擔著把電能或機械能轉化為氣體壓力能的重要任務，是壓縮機最重要的零部件之一；但自透平機械產生后，葉片斷裂問題就一直困擾著設計師和操作人員。對透平葉片的振動和斷裂問題的研究，學者們做了大量工作。2006年，秦飛等人采用瞬態有限元方法，計算了空冷汽輪機末級動葉片的動力學響應，分析了不同工況下的動應力值。同時采用諧響應分析方法，研究了葉片危險點在不同激勵頻率下的位移響應。
2000年，朱寶田，吳厚鈺研究了汽輪機葉片的動應力特性及頻率、激振力、阻尼等因素對動應力特性的影響。在建立葉片有限元模型、激振力模型和阻尼特性處理方法的基礎上，采用模態迭加法求解葉片強迫振動的方程，建立了定量計算葉片振動響應和動應力的模型和計算方法。對真實葉片動應力場進行計算，所得結果與實際吻合，表明該模型和方法具有理論和工程應用價值。
2003年，謝永慧，孟慶集建立了三維有限元模型，并采用合適的有限元模型分析了一個汽輪機末級長葉片和５片成組葉片的靜態與動態應力，計算所得的共振應力最大點的部位和十余臺機組上發生的葉片斷裂事故所表征的裂紋位置相當吻合。
一般來說，靜態分析比動態分析求解容易；但實踐證明，靜態分析遠遠滿足不了實際需要，許多技術問題與動態特性有關，因為葉片工作是處在動態載荷環境中的。葉片是壓縮機的重要部件之一，在工作過程中，葉片不僅受到離心力載荷，還不斷地受到氣流激振力的交變載荷，使葉片產生振動，特別是當激振頻率等于葉片自振頻率而產生共振時，會使葉片疲勞斷裂。
實際運行的經驗表明，葉片的靜態強度是足夠的（結構、設計方面不存在靜態強度問題），但葉片仍存在斷裂問題，葉片的破壞（斷裂、過早出現裂紋等）主要是由于葉片的動態性能不好，導致葉片在受到外界激勵而產生強迫振動時，造成葉片的動應力過大，超過了材料的動態強度極限，從而引起葉片的破壞。鑒于此，本文對葉片在不同約束情況下的動態特性和固有頻率進行了計算分析，為葉片的安裝以及調頻提供了參考。
1 葉片總體運動方程的建立
阻尼力一般是在葉片振動的時候產生作用推導靜力平衡方程時，未考慮阻尼力的影響，本文引入了阻尼力的作用。一般來說，阻尼的機理比較復雜，關于阻尼與速度是什么樣的關系，目前沒有一個比較成熟的理論；所以，本文對阻尼的處理采用應用比較多的比例阻尼假設，即對單元體內作用的阻尼力采用速度－阻尼成正比的假設，即單元體的阻尼力為：
式中， ｃ為阻尼系數。葉片振動時的單元運動方程為：
由于哥氏力矩陣與角速度Ω的一次方成正比，相對來說，量值上是很小的，通常認為，它對前幾階頻率只有很小的影響。在實際計算中，一般忽略哥氏力項的作用，最后得到葉片振動時的總體運動方程為：
3 葉片的模態分析
在結構動態分析中，廣泛采用模態分析方法。所謂模態分析就是求解結構振動微分方程組的剛度矩陣相對于質量矩陣的特征值（固有頻率）。通過這個過程將互相耦合的振動微分方程解耦，由此可以得到結構的主振型，明確結構的振動特性。通過模態分析得到的結果，可以幫助設計者設計合理的結構，以避開共振頻率。
葉片振動特性分析最基本的參數是葉片的靜頻和動頻。葉片在靜止狀態下的固有頻率就是葉片的靜頻。葉片在運行狀態時，由于受到離心力等載荷的作用，會使葉片具有一個初始應力場，從而提高葉片的剛度，使葉片的固有頻率值也相應增加。求解此時的葉片特征值，便可獲得葉片的動頻。葉片動頻的計算精度精確與否，不但說明計算方法（ 分析）的適用與否，還在很大程度上證明了穩態應力場分析的精確度與單元模型選取是否合適。同時，為葉片能否安全運行提供了依據，這也是精確計算動頻的更為重要的原因。
2.1 模態分析理論
模態是機械結構的固有振動特性，每一個模態具有特定的固有頻率、阻尼比和模態振型。基于線性疊加原理，一個復雜的振動系統可以分解為許多模態的疊加，這樣一個分解過程稱為模態分析。其對于機械系統的故障診斷、結構修改、優化設計和振動噪聲控制等許多實際工程領域，都有著廣泛的應用。它是現代工程設計方法中，對機械結構進行動態分析和動態設計不可缺少的有效工具。
通過模態分析方法，能分辨清楚結構物在某一感興趣的頻率范圍內各階主要模態的特性，從而得出結構在此頻段內，在外部或內部各種振源作用下實際振動的響應。對于葉片而言，模態分析技術提供準確的葉片動（靜）態特性參數，對于改進葉片設計，預防事故發生，實現安全運行有著十分重要的意義；因此，模態分析是結構動態設計及設備故障診斷的重要方法，是各種機械產品和工程結構的現代化設計、高性能指標、使用安全可靠性的重要保證。
如果模態分析過程是由有限元計算的方法取得的，則稱之為計算模態分析；如果通過實驗采集系統的輸入與輸出信號，經過參數識別獲得的模態參數，則稱之為實驗模態分析。目前，有限元方法是模態分析的主要手段。
對于一個無阻尼且結構剛度和質量為定常，沒有時變的力、位移、壓力或者溫度載荷的系統，其對應的方程為：
其中,［ Ｍ］為質量矩陣，［ Ｋ］為剛度矩陣；結構剛度矩陣［ Ｋ］可能包含預應力效應。
對于線性系統，該方程的解很簡單。令： 珗ｕ ＝珗φｉｃｏｓωｉｔ，則可得到模型圓頻率ω的方程為：
模態分析的任務就是求解該方程，以得到圓頻率（特征值）及其對應的特征向量，該過程也稱為模態提取。ＡＮＳＹ Ｓ提供了７種模態提取方法，即：Ｂｌｏｃｋ Ｌａｎｃｚｏｓ法、子空間法、ＰｏｗｅｒＤｙｎａｍｉｃ法、 縮減法、 非對稱法、 阻尼法和ＱＲ阻尼法。在大多數分析過程中將選用Ｂｌｏｃｋ Ｌａｎｃｚｏｓ法、 子空間法和縮減法， 這３種方法的適用范圍及要求見表１。
2.2 葉片靜頻與動頻的計算方程
具有ｎ個自由度的動力系統的廣義特征值問題為：
式中，｛ Φ｝是特征向量矩陣，［ Φ］＝｛φ１｝｛φ２｝…｛φｎ｝；［ Λ］是特征值矩陣 ，［ Λ］＝ｄｉａｇ［ ωｉ］，ｉ＝１，２，…，ｎ；［ Ｍ］是離散系統的質量矩陣：［ Ｋ］是離散系統的剛度矩陣。
由此可知，靜頻和動頻的不同關鍵在于葉片剛度的不同，由式3可得，葉片在靜止時可得式6寫為：
同樣，由式３和式６可得葉片在運動時的特征值問題為：
在通常的計算中，尤其是對于中短葉片，［ Ｋｃ］可以忽略，上式便轉化為：
2.3 葉片的靜頻結果分析
葉片在靜止狀態下的固有頻率就是葉片的靜頻。對葉片進行模態分析時，綜合比較各種模態提取方法的優缺點，并結合所研究的對象，本文采用ＢｌｏｃｋＬａｎｃｚｏｓ法。以建立好的葉片模型為對象，對葉根榫槽的接觸面進行約束，計算壓縮機葉片的前４階固有頻率，并提取了其相應的振型。葉片的前４階振型圖如圖１所示。對于第１階振型，選取多個點的Ｘ、Ｙ、Ｚ方向的相對位移進行分析；同時，與變形圖相結合分析得到葉片的前４階振型的振動型式。表２列出了葉片的前４階固有頻率及振型類別。振動的階次越高，頻率就越高 振幅相應減小，對應的動應力也越小；因此，Ａ０型振動的危險性最大。
2.4 葉片的動頻特性分析
在分析葉片的靜頻時，并未考慮離心力對頻率的影響；但葉片在實際運行狀態時是隨著葉輪一起轉動的，離心力的作用不可忽視。因此，研究葉片的動頻率比靜頻率更有實用價值。葉片在運行狀態時，由于受到離心力等載荷的作用，會使葉片具有一個初始應力場，從而提高葉片的剛度，使得葉片的固有頻率值也相應增加，求解此時葉片的特征值，便獲得了葉片的動頻。本節計算了轉速為1000-3000ｒ／ｍｉｎ時葉片的前５階動頻，計算結果見表３。
從表３中可以看出, 隨著轉速的增大， 葉片的同一階頻率不斷增大，說明轉速使得葉片的相應頻率增加，這是離心力作為預應力對葉片剛化作用的結果。當轉速為3000r/min時，葉片的第１階固有頻率比靜頻增加了15.45%，第２階固有頻率增加了3.54%，第３階固有頻率增加了1.84%，第４階固有頻率 增加了1.03%，第５階固有頻率增加了0.8%，這說明對于同一轉速而言， 離心力對低階頻率的影響更大。
從靜頻和動頻的計算結果可以發現，各個轉速下動頻值與靜頻值相差很小，說明離心初應力對葉片的振動特性影響很小， 是因為離心力產生的預應力僅僅分布在葉根榫槽處。
為了判斷葉片工作時是否存在共振和共振轉速位置， 工程理論上常借助Ｃａｍｐｂｅｌ圖（ 共振轉速圖）來分析。所謂的Ｃａｍｐｂｅｌ圖就是監測點的振動幅值作為轉速和頻率的函數，將整個轉速范圍內葉片振動的全部分量的變化特征表示出來。在Ｃａｍｐｂｅｌｌ，橫坐標表示轉速，縱坐標表示頻率，其中強迫振動部分，即與轉速有關的頻率成分，呈現在以原點引出的射線上。利用Ｃａｍｐｂｅｌｌ圖，可以找出共振時葉片的固有振動頻率和激振頻率值，對進一步分析異常故障的原因及為以后排除故障有著十分重要的價值。將計算得到轉速為1000-3000r/min的動頻繪制成Ｃａｍｐｂｅｌ圖，如圖２所示。
共振并不是準確地發生在計算出的共振頻率處，而是在計算出的共振頻率附近就有較大的振幅值；因此，葉片必須在激振力頻率左右與固有頻率避開一定的頻率范圍。通常將葉片的固有頻率避開激振力頻率一定的頻率范圍叫做共振安全率。共振安全率的計算公式為：
式中，Δ ｆ為共振安全率；fj為激振頻率；fg為固有頻率。
對于壓縮機葉片來說，共振安全率取８％， 即Δ ｆ≥８％。實際上，只要壓縮機葉片在工作轉速時不發生共振，就可以認為其滿足動強度要求。因為其他的轉速只有當壓縮機起動或者停機過程中才可能發生，而起動和停機的時間相對較短；因此，可以不考慮其對葉片動強度的影響。
當葉片轉速為3000r/min(即50r/min) 時，從Ｃａｍｐｂｅｌｌ圖中可以看出，對于低階激振頻率（Ｋ＝１～７階） 來說，第４階激振頻率與葉片的第１階固有頻率值相近；而高階激振頻率（ｆ＝1400Hz）與葉片的第４階固有頻率相近。因此，有必要計算這２種情況下葉片的共振安全率，從而判斷葉片是否發生共振。
Ｋ＝４時，激振力成分的頻率為轉速的４倍，即200Hz。對應的固有頻率為215.22Hz，Δ ｆ ＝（ fj－fg）／fj×100%＝(200-215.22) /200-100%＝7.6%，不滿足避開率應＞８％的要求，因此該點是共振點。
高階激振頻率為1400 Hz，葉片的第４階固有頻率為1360.6 Hz，Δ ｆ＝（fj－fg）／fj×100%＝(1400-1360.6)／1400X100%=2.8%，不滿足避開率應＞８％的要求，因此該點是共振點。由上述分析可知，葉片在3000r/min時會發生共振，必須對葉片進行調頻。
3 結語
對葉片進行模態分析，計算得到其靜頻值、動頻值及其相應振型。結果表明,前４階靜頻值為：186.42、620.76、769.25和1346.7Hz，前４階振型分別為：１階彎曲；２階彎曲；１階扭轉；彎扭聯合。葉片在各個轉速下的動頻值與靜頻值相差很小，說明離心初應力對葉片的振動特性影響很小，這是因為離心力產生的預應力僅僅分布在葉根榫槽處。并將模態計算得到的轉速1000-3000r/min的動頻繪制成Ｃａｍｐｂｅｌ圖。通過對Ｃａｍｐｂｅｌ圖進行分析及共振安全率的計算發現，葉片存在２個共振點，必須對其進行調頻。
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